平行线的定义

平行线是在平面内，两条直线方向相同，但是不相交的一种直线关系。也就是说，它们在任何时候都不会相交。

两条平行线可以表示为两条线段之间的距离相等，如果两条直线有交点，则它们不平行；如果在两条平行线上选取任意两点，它们与另一个线上的两点的连线互相平行。

平行线的定理

平行线有许多重要的定理和性质。以下是其中的一些定理。

欧氏定理

欧氏几何的基本假设之一是平行公理，即：通过外一点与直线垂直的直线只有一条，并且称这条直线为平行线。在这个假设下，我们可以得出欧氏定理：如果一条直线与另外两条直线相交，使得其中一个内角与另一个内角之和小于180度，则这两条直线在相交点的同侧是平行的。

第五公设

在非欧几何中，我们知道第五公设是不成立的。第五公设是指：通过一点，不在已知直线上，可以画出一条与已知直线平行的直线。但是，在非欧几何中，我们知道有时候这个假设并不成立。例如，在球面几何中，当我们画一个大圆和它的副弧时，这两条弧不会相交，也不会平行。

向量定义

在向量中，两条线段平行当且仅当它们的方向向量相同。如果我们定义向量的长度，我们可以通过检查向量的长度来测试两个向量是否平行。

平行线的性质

我们可以从以下几个角度来探讨平行线的性质。

距离

两条平行线之间的距离保持不变。这是因为对于两条平行线上的任意点 $A$ 和 $B$ 的连线 $AB$ 和另外一条直线的交点 $P$，我们有构成直角三角形 $ABP$，因此 $AP^2+BP^2=AB^2$。而我们发现$AP=BP$，因此 $AP=\\frac{1}{2}AB$。所以，两条平行线之间的距离可以通过任何一对垂直交线在他们之间所夹的距离来计算。

角度

两条平行线之间的内角和等于180度。这证明了直角三角形 $ABP$ 中的另外一个角是90度，所以 在这条线上的角都是直角，因此它们之间的内角和一定为 180 度。

直线

如果两条直线之间相互平行，则它们可以完全重合。两条相互平行的线段共面，因此，在两个平行面之间将会有无限个相互平行的直线。如果将两条平行线平移，它们仍保持平行性，并且它们之间的距离保持不变。