微分中值定理（微分三大定理及其证明）

　　微分中值定理(微分三大定理及其证明)

　　在中学阶段，大家会经常遇到的一类题型就是判断导数的结果。很多同学对导数的概念、性质不太了解，对判断结果的类型也不太清楚。 微分中值定理：对于一个函数，如果它在某一点上的导数等于这个点到函数值上的导数值，那么这个函数在这一点上有两个值，一个是函数值，另一个是导数。 微分中值定理(微分三大定理)：我们称这个定理为微分三大定理，它的内容如下： 设函数f (x)在[a,b]上有定义，我们称函数f (x)在[a,b]上的定义域为[a]-[b]。那么如果在[a,b]上存在一个函数f (x)使得y= xp+ xd (x>0)，则我们称f (x)在[a]-[b]上的导数为： 如果在{0}处有一个函数f (x)使得y= xp+ xd (x>0)有导数 dx=f (y-d=0)，那么我们称函数在{0}处有一个导数为： 在这里我们可以定义一个新的函数： 这个新的函数叫做 dyn。 下面我们来证明这个定理： 第一步先证明中值定理。注意：一定要将上述两个公式都写出来才能保证其正确性。 第一步证明积分中值定理：第三步我们证明微分三大定理。

　　定理一：函数f (x)在[a,b]上的导数 dx=f (y-d)

　　如果函数f (x)在[a,b]上的导数等于它的零点到函数值上的导数值，那么这个函数在[a,b]上就有两个值。 如果函数f (x)在[a,b]上有零点，则这个函数在{0}处也有一个零点。 定理二：当函数值大于0且小于等于0时，函数在[a,b]上的导数为零。 这也是一个判断导数结果的方法。 这三个定理是相互独立的，他们可以同时成立。如果只看一个定理的话，就容易产生误解。 首先我们看一下“极限”部分： 当f (x)=0时我们称f (x)在[a,b]上有一个极限。

　　定理二：如果在[a,b]上有一个函数 dyn使得y= xp+ xd (x>0)有导数 dx=f (y-d)，那么这个函数叫做 dyn

　　证明：定理三中的 dyn是一个新的函数，其导数为-d= dx+ dy。 这里我们需要注意以下两点： 1、对于 dy=0,我们要先将 dy=0的极限定义出来，然后再根据 dyn的定义求出它的导数值，最后再求出它的导数。 2、对于 dy=0,我们要先将a变为b，再由导数公式求出a的导数。 证明：我们将定义在[a,b]上的函数 dyn利用类似于积分中值定理进行证明。 注意：微分三大定理是同一个命题的两个不同版本，二者之间没有任何关系。我们不能说微分三大定理中的f (x)、d分别是积分中值定理中的f (x)、d，所以它们不能混为一谈。微分三大定理是有条件的，那就是： 1、函数在[a,b]上有定义。