数学史上的三次危机

第一次危机：无理数

在古希腊时期，人们认为所有的数都可以用整数、分数或者比例表示。但是，希波克拉底的学生辛公玄发现了一个问题：一个正方形的对角线长度与边长的比值不能用有理数表示。也就是说，存在一类数无法用整数、分数或者比例来表示。这类数就被称为无理数。

这个发现引起了惊人的轰动，许多人认为这是数学理论的崩溃。但是，这个危机最终被解决了。公元前4世纪，欧多克索斯证明出根号2是无理数。公元7世纪，印度数学家布拉马古普塔发现了一种用近似解法求解无理数问题的方法。最终，勒让德在18世纪提出了十进制小数的概念，为无理数问题的解决提供了基础。

第二次危机：非欧几何

欧几里得几何是古希腊时期的一种几何学，它的基本假设是“通过一点可以作一条唯一的垂线”。但是，19世纪初叶，非欧几何的概念被提出。非欧几何是使用不同于欧几里得的公设来构建几何学的一种方式。其中最著名的是黎曼几何，它的基本假设是：“在任意一点可以任意作一条直线与当前直线平行”。

这一概念的提出震惊了数学界，因为这意味着欧几里得几何的公设并不是唯一的。一些人甚至担心这将对数学的整个基础产生影响。然而，这个危机最终被解决了。黎曼首先证明了“非欧公设不会导致矛盾”，使得人们可以不受拘束地发展非欧几何。而后，黎曼发现了曲面上的一种内在的测度方式——曲率，这个发现成为了现代微积分和爱因斯坦相对论的基础。

第三次危机：基础理论的一致性

20世纪初期，数学家们开始尝试用符号逻辑来进行数学证明，从而导致了一系列的问题。其中最著名的是哥德尔不完备性定理。这个定理表明，任何一种包括算术的公理系统，都存在不能证明的命题。这就意味着，在数学的某些方面，我们永远无法证明所有的真理。

这个发现引起了很大的恐慌。在第一次危机和第二次危机之后，多数人都认为我们已经掌握了人类数学基础，而相对论和量子力学的出现又让人们怀疑是否我们已经抵达了新的数学边缘。注意哥德尔不完备性定理只是引发了这次危机，它本身并没有威胁数学理论的一致性和完整性。